Тригонометрия Примеры

$\sqrt[5]{2 x^{2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[5]{2 y^{2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[5]{2 y^{2}} = x$ .

$\sqrt[5]{2 y^{2}} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{2 y^{2}}}^{5} = x^{5}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{2 y^{2}}$ в виде ${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y^{2})}^{1} = x^{5}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$2 y^{2} = x^{5}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = x^{5}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = x^{5}$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Этап 2.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Этап 2.4.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Этап 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$

Этап 2.4.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Перепишем $x^{5}$ в виде ${(x^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Вынесем $x^{4}$ за скобки.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} x}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $\frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Умножим $\frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.3.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 2.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 2.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 2.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ обратной к $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x \geq 0$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x \geq 0$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Этап 5