Тригонометрия Примеры

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ .

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ в виде ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Этап 2.5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Этап 4.2.3

Перепишем ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ в виде $1 + \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ в виде ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Этап 4.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Этап 4.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Этап 4.2.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Этап 4.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Этап 4.2.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $1 + \tan (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Этап 4.2.4.2

Добавим $0$ и $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arctan (x^{3} - 1))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Этап 4.3.3

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Этап 4.3.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 4.3.5

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$