Тригонометрия Примеры

$\sqrt{7 + 4 x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{7 + 4 y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{7 + 4 y} = x$ .

$\sqrt{7 + 4 y} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 + 4 y}}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 + 4 y}$ в виде ${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 + 4 y)}^{1} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$7 + 4 y = x^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$4 y = x^{2} - 7$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $4 y = x^{2} - 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $4 y = x^{2} - 7$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$ обратной к $f (x) = \sqrt{7 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(\sqrt{7 + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(\sqrt{7 + 4 x})}^{2} - 7}{4}$

Этап 4.2.4

Перепишем ${\sqrt{7 + 4 x}}^{2}$ в виде $7 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 + 4 x}$ в виде ${(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{({(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7}{4}$

Этап 4.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7}{4}$

Этап 4.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{2}{2}} - 7}{4}$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{2}{2}} - 7}{4}$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{(7 + 4 x) - 7}{4}$

Этап 4.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{7 + 4 x - 7}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $7 + 4 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4})}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{7}{4})}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{7}{4})}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (- \frac{7}{4})}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{4}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (\frac{- 7}{4})}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (\frac{- 7}{4})}$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} - 7}$

Этап 4.3.6

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 4.3.6.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{7 + 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$