Тригонометрия Примеры

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ .

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

Этап 2.4

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Разделим каждый член $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.5.3.1.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

Этап 2.5.3.1.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ обратной к $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.1.2.4

Разделим $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.2.3.2.2

Умножим $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 4.3.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим противоположные члены в $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

Этап 4.3.4.1.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

Этап 4.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Разделим $0$ на $4$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

Этап 4.3.4.2.2

Добавим $\arccos (- \frac{x}{2})$ и $0$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Этап 4.3.5

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Этап 4.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Этап 4.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Этап 4.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

Этап 4.3.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

Этап 4.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ — обратная к $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$