Тригонометрия Примеры

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ .

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\csc (\frac{1}{2} y)$ на $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака косеканса.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 2.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 2.6

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 2.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ обратной к $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Этап 4.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Этап 4.2.5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Этап 4.2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Этап 4.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Объединим противоположные члены в $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Этап 4.2.6.1.2

Добавим $2 \csc (\frac{x}{2})$ и $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Этап 4.2.6.2.2

Разделим $\csc (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Этап 4.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Этап 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{4}$ в числитель.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 4.3.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Этап 4.3.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ — обратная к $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$