Тригонометрия Примеры

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ .

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ на $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

Этап 2.4

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Этап 2.6.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Этап 2.7

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Этап 2.8

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.9

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Этап 2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Этап 2.9.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ обратной к $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Этап 4.2.3.2

Разделим $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ на $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arccos (\frac{x}{4})$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.3.4.4

Разделим $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ на $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Разделим $0$ на $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

Этап 4.3.5.2

Добавим $\arccos (\frac{x}{4})$ и $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

Этап 4.3.6

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ — обратная к $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$