Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Этап 3.3

Точное значение $\tan^{-1} (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Единица в любой степени равна единице.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Этап 6

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (θ - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sin^{-1} (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 9

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Этап 9.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Этап 11

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 11.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 11.1.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 12

Найдем период $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Период функции $\sin (θ - \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$