Тригонометрия Примеры

Найти обратный элемент ((sin(x)+cos(x))^2)/(1+2sin(x)cos(x))
Этап 1
Поменяем переменные местами.
Этап 2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 2.2
Разделим каждый член уравнения на .
Этап 2.3
Разделим дроби.
Этап 2.4
Переведем в .
Этап 2.5
Разделим на .
Этап 2.6
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 2.7
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.7.1
Объединим и .
Этап 2.7.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.8
Разделим дроби.
Этап 2.9
Переведем в .
Этап 2.10
Разделим на .
Этап 2.11
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.11.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.11.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.11.1.2
Объединим и .
Этап 2.11.1.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 2.11.1.4
Умножим на .
Этап 2.12
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.12.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.12.1.1
Выразим через синусы и косинусы.
Этап 2.12.1.2
Объединим и .
Этап 2.13
Умножим обе части уравнения на .
Этап 2.14
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.14.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.14.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.15
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.15.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.15.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.16
Умножим обе части на .
Этап 2.17
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.17.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.17.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.17.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.17.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.17.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.17.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.17.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.17.2.1.2
Умножим на .
Этап 2.18
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.1
Перепишем.
Этап 2.18.1.1.2
Перепишем в виде .
Этап 2.18.1.1.3
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.18.1.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.18.1.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.18.1.1.4
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.4.1.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.4.1.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.18.1.1.4.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.18.1.1.4.1.1.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.18.1.1.4.1.1.4
Добавим и .
Этап 2.18.1.1.4.1.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.4.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.18.1.1.4.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.18.1.1.4.1.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.18.1.1.4.1.2.4
Добавим и .
Этап 2.18.1.1.4.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.18.1.1.4.3
Добавим и .
Этап 2.18.1.1.5
Перенесем .
Этап 2.18.1.1.6
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.18.1.1.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.1.1.7.1
Изменим порядок и .
Этап 2.18.1.1.7.2
Изменим порядок и .
Этап 2.18.1.1.7.3
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 2.18.2
Подставим вместо .
Этап 2.18.3
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.18.4
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.18.5
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.18.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.18.5.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.18.6
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.6.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.18.6.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.6.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.6.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.18.6.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.18.6.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.6.3.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.18.6.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.6.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.18.6.3.2.2
Перепишем в виде .
Этап 2.18.6.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.18.6.3.2.4
Изменим порядок членов.
Этап 2.18.6.3.2.5
Сократим общий множитель.
Этап 2.18.6.3.2.6
Разделим на .
Этап 2.18.7
Подставим вместо .
Этап 2.18.8
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 2.18.9
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.9.1
Точное значение : .
Этап 2.18.10
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.10.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.18.10.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.10.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.10.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.18.10.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.18.10.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.10.3.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 2.18.10.3.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.10.3.2.1
Умножим на .
Этап 2.18.10.3.2.2
Умножим на .
Этап 2.18.11
Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 2.18.12
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.1
Вычтем из .
Этап 2.18.12.2
Результирующий угол является положительным, меньшим и отличается от на полный оборот.
Этап 2.18.12.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.18.12.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.18.12.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.18.12.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.3.3.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 2.18.12.3.3.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.12.3.3.2.1
Умножим на .
Этап 2.18.12.3.3.2.2
Умножим на .
Этап 2.18.13
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.13.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 2.18.13.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 2.18.13.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 2.18.13.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.13.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.18.13.4.2
Разделим на .
Этап 2.18.14
Добавим к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.14.1
Добавим к , чтобы найти положительный угол.
Этап 2.18.14.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.18.14.3
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.14.3.1
Объединим и .
Этап 2.18.14.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.18.14.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.18.14.4.1
Перенесем влево от .
Этап 2.18.14.4.2
Вычтем из .
Этап 2.18.14.5
Перечислим новые углы.
Этап 2.18.15
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3
Заменим на , чтобы получить окончательный ответ.
Этап 4
Проверим, является ли обратной к .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений и и сравним их.
Этап 4.2
Найдем множество значений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Множество значений ― это множество всех допустимых значений . Используем график, чтобы найти множество значений.
Интервальное представление:
Этап 4.3
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 4.4
Так как область определения не совпадает со множеством значений , то не является функцией, обратной к .
Обратная не существует
Обратная не существует
Этап 5