Тригонометрия Примеры

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.3

Разделим дроби.

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.4

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.5

Разделим $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$ на $1$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.6

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ и $\sec (y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.8

Разделим дроби.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 2.9

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \sec (y)$

Этап 2.10

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Этап 2.11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим $\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)} {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Этап 2.11.1.2

Объединим $\frac{1}{\cos (y)}$ и ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Этап 2.11.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Этап 2.11.1.4

Умножим $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}$ на $\frac{1}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \sec (y)$

Этап 2.12

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим $x \sec (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 2.12.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.13

Умножим обе части уравнения на $\cos (y)$ .

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.14

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Сократим общий множитель.

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.15

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Этап 2.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x$

Этап 2.16

Умножим обе части на $1 + \sin (2 y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1.1

Сократим общий множитель $1 + \sin (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Этап 2.17.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x (1 + \sin (2 y))$

Этап 2.17.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Упростим $x (1 + \sin (2 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x \cdot 1 + x \sin (2 y)$

Этап 2.17.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1

Упростим ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + {(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.2

Перепишем ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ в виде $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ .

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.3

Развернем $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.4.1.1

Умножим $\sin (y) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.4.1.1.1

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.1.2

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.2

Умножим $\cos (y) \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.4.1.2.1

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.2.2

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\sin (y) \cos (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.4.3

Добавим $\cos (y) \sin (y)$ и $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.5

Перенесем $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.6

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1.1.7.1

Изменим порядок $2 \cos (y)$ и $\sin (y)$ .

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.7.2

Изменим порядок $\sin (y)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.1.1.7.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 y) = x + x \sin (2 y)$

Этап 2.18.2

Подставим $u$ вместо $\sin (2 y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Этап 2.18.3

Вычтем $x u$ из обеих частей уравнения.

$1 + u - x u = x$

Этап 2.18.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u - x u = x - 1$

Этап 2.18.5

Вынесем множитель $u$ из $u - x u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.5.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Этап 2.18.5.2

Вынесем множитель $u$ из $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Этап 2.18.5.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Этап 2.18.6

Разделим каждый член $u (1 - x) = x - 1$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.6.1

Разделим каждый член $u (1 - x) = x - 1$ на $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.18.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.6.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.18.6.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Этап 2.18.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Этап 2.18.6.3.2

Сократим общий множитель $x - 1$ и $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.6.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Этап 2.18.6.3.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Этап 2.18.6.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Этап 2.18.6.3.2.4

Изменим порядок членов.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 2.18.6.3.2.5

Сократим общий множитель.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 2.18.6.3.2.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$u = - 1$

Этап 2.18.7

Подставим $\sin (2 y)$ вместо $u$ .

$\sin (2 y) = - 1$

Этап 2.18.8

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$2 y = \arcsin (- 1)$

Этап 2.18.9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.9.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 y = - \frac{π}{2}$

Этап 2.18.10

Разделим каждый член $2 y = - \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.10.1

Разделим каждый член $2 y = - \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.18.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.10.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.18.10.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.18.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.10.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.18.10.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.10.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.18.10.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{π}{4}$

Этап 2.18.11

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.18.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.18.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 y = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.18.12.3

Разделим каждый член $2 y = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.3.1

Разделим каждый член $2 y = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.18.12.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.18.12.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.18.12.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.18.12.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.12.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.18.12.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.18.13

Найдем период $\sin (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.18.13.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.18.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.18.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.13.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.18.13.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.18.14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.18.14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.18.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.18.14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.18.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.14.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.18.14.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.18.14.5

Перечислим новые углы.

$y = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.18.15

Период функции $\sin (2 y)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ обратной к $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{3 π}{4} + π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Обратная не существует

Этап 5