Тригонометрия Примеры

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Этап 1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Этап 2.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Этап 3

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Этап 4.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (y + 1)}$ в виде ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.2.1.3.2

Упростим.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 4.4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 4.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 4.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 4.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 4.4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 4.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Этап 4.5.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разделим каждый член $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 5

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 6

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ и $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ и сравним их.

Этап 6.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем множество значений $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[2, \infty)$

Этап 6.2.2

Найдем множество значений $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, 2]$

Этап 6.2.3

Найдем объединение $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 6.3

Найдем область определения $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (x + 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (x + 1) \geq 0$

Этап 6.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $3 (x + 1) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 1) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 6.3.2.1.2.1.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 6.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 6.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ , представляет область определения $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 7