Тригонометрия Примеры

${(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(4 - \cos (10 y))}^{- 11}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(4 - \cos (10 y))}^{- 11} = x$ .

${(4 - \cos (10 y))}^{- 11} = x$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(4 - \cos (10 y))}^{11}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$ умножим на ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$ на ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ .

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} {(4 - \cos (10 y))}^{11} = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} {(4 - \cos (10 y))}^{11} = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ .

$x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ на $x$ .

$\frac{x {(4 - \cos (10 y))}^{11}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(4 - \cos (10 y))}^{11}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ на $1$ .

${(4 - \cos (10 y))}^{11} = \frac{1}{x}$

Этап 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$4 - \cos (10 y) = \sqrt[11]{\frac{1}{x}}$

Этап 2.5.4

Упростим $\sqrt[11]{\frac{1}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $\sqrt[11]{\frac{1}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[11]{1}}{\sqrt[11]{x}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{1}}{\sqrt[11]{x}}$

Этап 2.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{1}{\sqrt[11]{x}}$

Этап 2.5.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[11]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{1}{\sqrt[11]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Этап 2.5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[11]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{\sqrt[11]{x} {\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Этап 2.5.4.4.2

Возведем $\sqrt[11]{x}$ в степень $1$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{1} {\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Этап 2.5.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{1 + 10}}$

Этап 2.5.4.4.4

Добавим $1$ и $10$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{11}}$

Этап 2.5.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[11]{x}}^{11}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{11}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{(x^{\frac{1}{11}})}^{11}}$

Этап 2.5.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{1}{11} \cdot 11}}$

Этап 2.5.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{11}$ и $11$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{11}{11}}}$

Этап 2.5.4.4.5.4

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{11}{11}}}$

Этап 2.5.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{1}}$

Этап 2.5.4.4.5.5

Упростим.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x}$

Этап 2.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[11]{x}}^{10}$ в виде $\sqrt[11]{x^{10}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$

Этап 2.5.5

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$

Этап 2.5.6

Разделим каждый член $- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Разделим каждый член $- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (10 y)}{- 1} = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (10 y)}{1} = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.6.2.2

Разделим $\cos (10 y)$ на $1$ .

$\cos (10 y) = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1}$ .

$\cos (10 y) = - 1 \cdot \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.6.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$ в виде $- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$ .

$\cos (10 y) = - \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.6.3.1.3

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$\cos (10 y) = - \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4$

Этап 2.6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$

Этап 2.7

Разделим каждый член $10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$ на $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{10} = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$ обратной к $f (x) = {(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})}^{10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11 \cdot 10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 11$ на $10$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(4 - \cos (10 x))}^{- 110}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{110}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1^{11}}{{(4 - \cos (10 x))}^{110}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем ${(4 - \cos (10 x))}^{110}$ в виде ${({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1^{11}}{{({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.5

Перепишем $\frac{1^{11}}{{({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}}$ в виде ${(\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}})}^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}})}^{11}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Перенесем ${(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- (\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} \cdot {(4 - \cos (10 x))}^{11}) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.2

Объединим $\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}}$ и ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{11}}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.3

Сократим общий множитель ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ и ${(4 - \cos (10 x))}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.3.1

Вынесем множитель ${(4 - \cos (10 x))}^{10}$ из ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10} \cdot 1} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10} \cdot 1} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{4 - \cos (10 x)}{1} + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.3.2.4

Разделим $4 - \cos (10 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- (4 - \cos (10 x)) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 1 \cdot 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.6

Умножим $- - \cos (10 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + 1 \cos (10 x) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.1.6.2

Умножим $\cos (10 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Этап 4.2.4.2

Объединим противоположные члены в $- 4 + \cos (10 x) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (0 + \cos (10 x))}{10}$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $0$ и $\cos (10 x)$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (\cos (10 x))}{10}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- \sqrt[11]{x^{10}} + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x^{10}}$ в виде $x^{\frac{10}{11}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- x^{\frac{10}{11}} + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.3.2

Вынесем множитель $x^{\frac{10}{11}}$ из $- x^{\frac{10}{11}} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{10}{11}}$ из $- x^{\frac{10}{11}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.3.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{10}{11}}$ из $4 x$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + x^{\frac{10}{11}} (4 x^{\frac{1}{11}})}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.3.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{10}{11}}$ из $x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + x^{\frac{10}{11}} (4 x^{\frac{1}{11}})$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} (- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}})}{x})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.4

Перенесем $x^{\frac{10}{11}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x \cdot x^{- \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{10}{11}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.5.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{10}{11}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x \cdot x^{- \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{1 - \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{11}{11} - \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{11 - 10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.1.5.4

Вычтем $10$ из $11$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})))}^{- 11}$

Этап 4.3.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}} - \frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} - (- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - (4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - (4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.6.4

Вычтем $4 x^{\frac{1}{11}}$ из $4 x^{\frac{1}{11}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{0 + 1}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.6.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{1}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Этап 4.3.7

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$

Этап 4.3.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x^{\frac{1}{11} \cdot 11}$

Этап 4.3.8.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x^{\frac{1}{11} \cdot 11}$

Этап 4.3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$ — обратная к $f (x) = {(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$