Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} \cdot \sec (π y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} \cdot \sec (π y) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sec (π y) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \sec (π y)) = 4 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \sec (π y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sec (π y)$ .

$4 \frac{\sec (π y)}{4} = 4 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sec (π y)}{4} = 4 x$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sec (π y) = 4 x$

Этап 3.4

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$π y = arcsec (4 x)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $π y = arcsec (4 x)$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $π y = arcsec (4 x)$ на $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π y}{π} = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (4 (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)))}{π}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (4 (\frac{1}{4}) \cdot \sec (π x))}{π}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (1 \cdot \sec (π x))}{π}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\sec (π x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \sec (π x)) = \frac{arcsec (\sec (π x))}{π}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{arcsec (4 x)}{π})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π (\frac{arcsec (4 x)}{π}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π (\frac{arcsec (4 x)}{π}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot \sec (arcsec (4 x))$

Этап 5.3.4

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{arcsec (4 x)}{π}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sec (π x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arcsec (4 x)}{π}$