Тригонометрия Примеры

$\cos (\arcsin (7 x))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ .

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arcsin (7 y)$ из косинуса.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

Этап 2.3

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\sin (\arccos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2.4.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 2.5

Разделим каждый член $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ обратной к $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (7 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (7 x))$ равно $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Этап 4.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Этап 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Этап 4.2.4.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Этап 4.2.4.7

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

Этап 4.2.4.8

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

Этап 4.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Этап 4.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.3

Перепишем $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Вынесем множитель $7$ из $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.3.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Сократим выражение $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.3.2.2

Разделим $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Этап 4.3.5.4.2

Разделим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ — обратная к $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$