Тригонометрия Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (\arcsin (\frac{5}{y}))$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$ .

$\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arcsin (\frac{5}{y})$ из косинуса.

$\arcsin (\frac{5}{y}) = \arccos (x)$

Этап 2.3

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$\frac{5}{y} = \sin (\arccos (x))$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\sin (\arccos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{5}{y} = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2.4.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{5}{y} = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 2.5

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 2.5.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 2.6

Каждый член в $\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим каждый член $\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $y$ .

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

Этап 2.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

Этап 2.7

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ .

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$

Этап 2.7.2

Разделим каждый член $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ на $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ на $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 2.7.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Этап 2.7.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 2.7.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Этап 2.7.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.7.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Этап 2.7.2.3.2.6.5

Упростим.

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ обратной к $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x})))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{5}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.8

Умножим $\frac{x + 5}{x}$ на $\frac{x - 5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.9

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.10

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.10.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.12

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.16

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.17

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.18

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.20

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.22

Умножим $\frac{x + 5}{x}$ на $\frac{x - 5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.23

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.24

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.24.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.24.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.24.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.25

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.26

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.27

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.29

Умножим $\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ на $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.30

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.31

Развернем $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.31.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.31.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.31.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.32

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.32.1

Изменим порядок множителей в членах $x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.32.2

Добавим $- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ и $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.32.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.3

Умножим $- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.3.1

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.3.2

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4

Перепишем ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ в виде $(x + 5) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в виде ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.5

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.6.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.33.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.7.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.33.9

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.34

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{0 + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.35

Добавим $0$ и $25$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.36

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{5^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.37

Перепишем $\frac{5^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{5}{x})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{{(\frac{5}{x})}^{2}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.4.38

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.3

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.8

Умножим $\frac{x + 5}{x}$ на $\frac{x - 5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.9

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.10

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.10.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.12

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

Этап 4.2.5.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

Этап 4.2.5.16

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

Этап 4.2.5.17

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

Этап 4.2.5.18

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

Этап 4.2.5.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}$

Этап 4.2.5.20

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}$

Этап 4.2.5.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}$

Этап 4.2.5.22

Умножим $\frac{x + 5}{x}$ на $\frac{x - 5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}$

Этап 4.2.5.23

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}$

Этап 4.2.5.24

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.24.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}$

Этап 4.2.5.24.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}$

Этап 4.2.5.24.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}$

Этап 4.2.5.25

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}$

Этап 4.2.5.26

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

Этап 4.2.5.27

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

Этап 4.2.5.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Этап 4.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Объединим $5$ и $\frac{5}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Этап 4.2.6.2

Умножим $\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ на $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

Этап 4.2.6.3

Умножим $5$ на $5$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

Этап 4.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{1 + 1}}}$

Этап 4.2.7.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Развернем $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.2.2

Добавим $- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ и $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3

Умножим $- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.3.1

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.2

Возведем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4

Перепишем ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ в виде $(x + 5) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ в виде ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.7.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.9

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.4

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{0 + 25}{x^{2}}}$

Этап 4.2.8.5

Добавим $0$ и $25$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{25}{x^{2}}}$

Этап 4.2.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25}{x} \cdot \frac{x^{2}}{25}$

Этап 4.2.10

Объединим.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

Этап 4.2.11

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.11.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

Этап 4.2.11.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 4.2.12

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 4.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 4.2.12.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 4.2.12.2.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 4.2.12.2.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x}{1}$

Этап 4.2.12.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$

Этап 4.3.3

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Этап 4.3.4

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})))}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

Этап 4.3.5.3

Умножим $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}))}$

Этап 4.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.1

Умножим $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

Этап 4.3.5.4.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

Этап 4.3.5.4.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

Этап 4.3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}$

Этап 4.3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

Этап 4.3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Этап 4.3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Этап 4.3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Этап 4.3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 4.3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.5.4.6.5

Упростим.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.5.5

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.5.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

Этап 4.3.5.6

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

Этап 4.3.5.6.2

Разделим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.3

Умножим $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Умножим $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.4.6.5

Упростим.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.5

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.6

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.3.6.6.2

Разделим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ — обратная к $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$