Тригонометрия Примеры

$\cos (arccsc (u))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$u = \cos (arccsc (y))$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (arccsc (y)) = u$ .

$\cos (arccsc (y)) = u$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $arccsc (y)$ из косинуса.

$arccsc (y) = \arccos (u)$

Этап 2.3

Take the inverse arccosecant of both sides of the equation to extract $y$ from inside the arccosecant.

$y = \csc (\arccos (u))$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\csc (\arccos (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (u)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Следовательно, $\csc (\arccos (u))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Этап 2.4.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Этап 2.4.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = u$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 2.4.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 2.4.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 2.4.1.4.2

Возведем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 2.4.1.4.3

Возведем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Этап 2.4.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Этап 2.4.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ в виде $(1 + u) (1 - u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в виде ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Этап 2.4.1.4.6.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ обратной к $f (u) = \cos (arccsc (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (u)) = u$ и $f (f^{- 1} (u)) = u$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (u))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (arccsc (u)))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $arccsc (u)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Следовательно, $\cos (arccsc (u))$ равно $\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.6.2

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.9

Умножим $\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ на $\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.10

Умножим $u$ на $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.11

Развернем $(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.12

Объединим противоположные члены в $u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.12.1

Изменим порядок множителей в членах $u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ и $\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.12.2

Добавим $- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ и $u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.12.3

Добавим $u \cdot u$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.1

Умножим $u$ на $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.3

Умножим $- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.3.1

Возведем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.3.2

Возведем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4

Перепишем ${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ в виде $(u + 1) (u - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в виде ${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.5

Развернем $(u + 1) (u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.13.6.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.1.3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.6.3

Добавим $u^{2}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.13.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.14

Вычтем $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{0 + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.15

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.16

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.17

Перепишем $\frac{1^{2}}{u^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{u})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.4.18

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5.2.2

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Этап 4.2.5.5

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}$

Этап 4.2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}$

Этап 4.2.5.6.2

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

Этап 4.2.5.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

Этап 4.2.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}$

Этап 4.2.6

Умножим $\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ на $\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}$

Этап 4.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{1 + 1}}}$

Этап 4.2.7.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Развернем $(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.2

Объединим противоположные члены в $u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Изменим порядок множителей в членах $u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ и $\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.2.2

Добавим $- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ и $u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.2.3

Добавим $u \cdot u$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Умножим $u$ на $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3

Умножим $- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.3.1

Возведем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.2

Возведем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4

Перепишем ${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ в виде $(u + 1) (u - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ в виде ${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5

Развернем $(u + 1) (u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.6.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.1.3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.6.3

Добавим $u^{2}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.4

Вычтем $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{0 + 1}{u^{2}}}$

Этап 4.2.8.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{u^{2}}}$

Этап 4.2.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot u^{2}$

Этап 4.2.10

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

Этап 4.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

Этап 4.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = u$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (u))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$

Этап 4.3.3

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Следовательно, $\cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$ равно $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ и $b = 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + 1) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3

Перепишем $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в виде ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.2

Перепишем $(1 + u) (1 - u)$ в виде ${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.3

Пусть $u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.4

Вынесем множитель $u$ из $u + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.4.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

Этап 4.3.7.3.4.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u \cdot u}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u \cdot u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u (1 + u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.5

Заменим все вхождения $u$ на ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.1

Развернем $(1 + u) (1 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.1.2

Умножим $- u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.1.3

Умножим $u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.2.1.5.1

Перенесем $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.3.1

Развернем $(1 + u) (1 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.2

Умножим $- u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.3

Умножим $u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.5.1

Перенесем $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.3.6.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1 \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.5

Объединим $- 1$ и $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{- ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7

Перепишем $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в виде ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.2

Перепишем $(1 + u) (1 - u)$ в виде ${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.3

Пусть $u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.4

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.4.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

Этап 4.3.7.7.4.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.4.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 + u (- u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.5

Заменим все вхождения $u$ на ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.1

Развернем $(1 + u) (1 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.1.2

Умножим $- u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.1.3

Умножим $u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.2.1.5.1

Перенесем $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.3.1

Развернем $(1 + u) (1 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.2

Умножим $- u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.3

Умножим $u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.5.1

Перенесем $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.7.7.6.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ на $\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) ({(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Умножим ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1.1

Перенесем ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.9.2

Упростим ${(1 - u^{2})}^{1} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Этап 4.3.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Возведем $1 + u$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 + u) (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.10.2

Возведем $1 + u$ в степень $1$ .

Этап 4.3.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{1 + 1} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.10.5

Возведем $1 - u$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} ((1 - u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.10.6

Возведем $1 - u$ в степень $1$ .

Этап 4.3.10.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{1 + 1}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.10.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1^{2} - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.11.2

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.12

Вынесем множитель $1 + u$ из $(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Вынесем множитель $1 + u$ из ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.13.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.3.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.14

Вынесем множитель $1 - u$ из $((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.1

Вынесем множитель $1 - u$ из $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.15.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.3.15.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Этап 4.3.16

Перепишем $\sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}}$ в виде $\frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 4.3.17

Объединим.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} ((1 + u) (1 - u))}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 4.3.18

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.1

Возведем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 4.3.18.2

Возведем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Этап 4.3.18.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Этап 4.3.19

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1

Перепишем ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ в виде $(1 + u) (1 - u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ в виде ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.19.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.19.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.19.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.19.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 4.3.19.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 4.3.19.2

Развернем $(1 + u) (1 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 (1 - u) + u (1 - u)}$

Этап 4.3.19.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}$

Этап 4.3.19.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

Этап 4.3.19.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

Этап 4.3.19.3.1.2

Умножим $- u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}$

Этап 4.3.19.3.1.3

Умножим $u$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u + u (- u)}$

Этап 4.3.19.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u \cdot u}$

Этап 4.3.19.3.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.3.1.5.1

Перенесем $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - (u \cdot u)}$

Этап 4.3.19.3.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u^{2}}$

Этап 4.3.19.3.2

Добавим $- u$ и $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 0 - u^{2}}$

Этап 4.3.19.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u^{2}}$

Этап 4.3.19.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1^{2} - u^{2}}$

Этап 4.3.19.5

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 4.3.20

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.20.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Этап 4.3.20.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

Этап 4.3.20.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

Этап 4.3.20.4

Разделим $\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (u)) = u$ и $f (f^{- 1} (u)) = u$ , то $f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ — обратная к $f (u) = \cos (arccsc (u))$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$