Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ в виде уравнения.

$y = \frac{15}{5 x - 15}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{15}{5 y - 15}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{15}{5 y - 15} = x$ .

$\frac{15}{5 y - 15} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$\frac{15}{5 (y) - 15} = x$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$\frac{15}{5 y + 5 \cdot - 3} = x$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{15}{5 (y - 3)} = x$

Этап 3.2.2

Сократим выражение $\frac{15}{5 (y - 3)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y - 3} = x$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 3, 1$

Этап 3.3.2

Избавимся от скобок.

$y - 3, 1$

Этап 3.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 3$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{3}{y - 3} = x$ умножим на $y - 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{3}{y - 3} = x$ на $y - 3$ .

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 = x (y - 3)$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x y + x \cdot - 3$

Этап 3.4.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$3 = x y - 3 x$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 3 x = 3$ .

$x y - 3 x = 3$

Этап 3.5.2

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x y = 3 + 3 x$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $x y = 3 + 3 x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $x y = 3 + 3 x$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$y = \frac{3}{x} + 3$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ обратной к $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{15}{5 x - 15}} + 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $15$ и $5 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 x - 15}} + 3$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) - 15}} + 3$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) + 5 (- 3)}} + 3$

Этап 5.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Этап 5.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Этап 5.2.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 3}} + 3$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x - 3 + 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3}{x} + 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{15}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Этап 5.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $15$ и $5 (\frac{3}{x} + 3) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Этап 5.3.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $\frac{3}{x} + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3}{x}$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x}) + 3 - 3}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x}) + 3 \cdot 1 - 3}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{1}{x} + 3 \cdot 1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1) - 3}$

Этап 5.3.3.2.2.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 \cdot - 1}$

Этап 5.3.3.2.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.6

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.7

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3}{x} + 3) = 1 x$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ — обратная к $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$