Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $y^{2} - 2 y - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $- 2$ .

$- 7, 5$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

Этап 3.2.2

Разложим $y^{2} + 9 y - 322$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 322$ , а сумма — $9$ .

$- 14, 23$

Этап 3.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y - 14) (y + 23), 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(y - 14) (y + 23)$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ умножим на $(y - 14) (y + 23)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ на $(y - 14) (y + 23)$ .

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $(y - 14) (y + 23)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(y - 7) (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.2

Развернем $(y - 7) (y + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (y + 5) - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$y^{2} + 5 \cdot y - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.3.1.3

Умножим $- 7$ на $5$ .

$y^{2} + 5 y - 7 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.2.3.2

Вычтем $7 y$ из $5 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Развернем $(y - 14) (y + 23)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y (y + 23) - 14 (y + 23))$

Этап 3.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 (y + 23))$

Этап 3.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Этап 3.4.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

Этап 3.4.3.2.1.2

Перенесем $23$ влево от $y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 \cdot y - 14 y - 14 \cdot 23)$

Этап 3.4.3.2.1.3

Умножим $- 14$ на $23$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 y - 14 y - 322)$

Этап 3.4.3.2.2

Вычтем $14 y$ из $23 y$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 9 y - 322)$

Этап 3.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + x (9 y) + x \cdot - 322$

Этап 3.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y + x \cdot - 322$

Этап 3.4.3.4.2

Перенесем $- 322$ влево от $x$ .

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 \cdot x$

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 x$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} = 9 x y - 322 x$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $9 x y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y = - 322 x$

Этап 3.5.2

Добавим $322 x$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y + 322 x = 0$

Этап 3.5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.4

Подставим значения $a = 1 - x$ , $b = - 2 - 9 x$ и $c = - 35 + 322 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 2 - 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot ((1 - x) \cdot (- 35 + 322 x))}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.4

Перепишем ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ в виде $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.5

Развернем $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.2

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.1.6

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.6.2

Добавим $18 x$ и $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.10

Развернем $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.11.1.1

Умножим $- 4$ на $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.2

Умножим $322$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.3

Умножим $- 35$ на $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.11.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.1.6

Умножим $4$ на $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.11.2

Вычтем $140 x$ из $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.12

Добавим $4$ и $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.13

Вычтем $1428 x$ из $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.14

Добавим $81 x^{2}$ и $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.5.15

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.6

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.4

Перепишем ${(- 2 - 9 x)}^{2}$ в виде $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.5

Развернем $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.6.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.2

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.1.6

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.6.2

Добавим $18 x$ и $18 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.10

Развернем $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.11.1.1

Умножим $- 4$ на $- 35$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.2

Умножим $322$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.3

Умножим $- 35$ на $4$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.11.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.1.6

Умножим $4$ на $322$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.11.2

Вычтем $140 x$ из $- 1288 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.12

Добавим $4$ и $140$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.13

Вычтем $1428 x$ из $36 x$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.14

Добавим $81 x^{2}$ и $1288 x^{2}$ .

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.1.15

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.7.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 3.5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 = 0$

Этап 5.3.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.2.3

Подставим значения $a = 1369$ , $b = - 1392$ и $c = 144$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1392 \pm \sqrt{{(- 1392)}^{2} - 4 \cdot (1369 \cdot 144)}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.1

Возведем $- 1392$ в степень $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.2.2

Умножим $- 5476$ на $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.3

Вычтем $788544$ из $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.4

Перепишем $1149120$ в виде $24^{2} \cdot 1995$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $576$ из $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.4.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.4.2

Умножим $2$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Этап 5.3.2.4.3

Упростим $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.1

Возведем $- 1392$ в степень $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.2.2

Умножим $- 5476$ на $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.3

Вычтем $788544$ из $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.4

Перепишем $1149120$ в виде $24^{2} \cdot 1995$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $576$ из $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.4.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.5.2

Умножим $2$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Этап 5.3.2.5.3

Упростим $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.1

Возведем $- 1392$ в степень $2$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.2.2

Умножим $- 5476$ на $144$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.3

Вычтем $788544$ из $1937664$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.4

Перепишем $1149120$ в виде $24^{2} \cdot 1995$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $576$ из $1149120$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.4.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

Этап 5.3.2.6.2

Умножим $2$ на $1369$ .

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

Этап 5.3.2.6.3

Упростим $\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ .

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.7

Объединим решения.

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$1369 {(0)}^{2} - 1392 \cdot 0 + 144 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.1.3

Левая часть $144$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.51$

Этап 5.3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0.51$ в исходном неравенстве.

$1369 {(0.51)}^{2} - 1392 \cdot 0.51 + 144 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.2.3

Левая часть $- 209.8431$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$1369 {(3)}^{2} - 1392 \cdot 3 + 144 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.3.3

Левая часть $8289$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Истина

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Ложь

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Истина

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Истина

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Ложь

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ Истина

Этап 5.3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ или $x \geq \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 (1 - x) = 0$

Этап 5.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $2 (1 - x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Разделим каждый член $2 (1 - x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.2.1.2

Разделим $1 - x$ на $1$ .

$1 - x = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$1 - x = 0$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 5.3.4.3

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.4.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ .

Обратная не существует

Этап 6