Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{y - 7} = 3 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y - 7}}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y - 7}$ в виде ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y - 7 = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(3 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y - 7 = 3^{3} x^{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y - 7 = 27 x^{3}$

Этап 3.6

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = 27 x^{3} + 7$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 {(\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})}^{3} + 7$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{\sqrt[3]{x - 7}}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 7}}^{3}$ в виде $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 7}$ в виде ${(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Этап 5.2.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x - 7 + 7$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 7 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (27 x^{3} + 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{(27 x^{3} + 7) - 7}}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3} + 0}}{3}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $27 x^{3}$ и $0$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (27 x^{3} + 7) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$