Тригонометрия Примеры

$f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ в виде уравнения.

$y = - \frac{1}{5} x + 8$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{5} y + 8$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{5} y + 8 = x$ .

$- \frac{1}{5} y + 8 = x$

Этап 3.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{y}{5} + 8 = x$

Этап 3.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{5} = x - 8$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- 5$ .

$- 5 (- \frac{y}{5}) = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- 5 (- \frac{y}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{5}$ в числитель.

$- 5 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 5 (x - 8)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- 5 (x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 5 x - 5 \cdot - 8$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- 5$ на $- 8$ .

$y = - 5 x + 40$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ обратной к $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{1}{5} x + 8) + 40$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5} + 8) + 40$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{5}$ в числитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 \frac{- x}{5} - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.3.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.3.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 1 (- x) - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 1 x - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 5 \cdot 8 + 40$

Этап 5.2.3.6

Умножим $- 5$ на $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 40 + 40$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 40 + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 40$ и $40$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- 5 x + 40)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x + 40) + 8$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 5 x + 40) = - 1 (- x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 5 x + 40) = 1 x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- 5 x + 40) = x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot 40 + 8$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (8)) + 8$

Этап 5.3.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 8) + 8$

Этап 5.3.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- 5 x + 40) = x - 1 \cdot 8 + 8$

Этап 5.3.3.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x - 8 + 8$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 8 + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- 5 x + 40) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ — обратная к $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ .

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$