Тригонометрия Примеры

$f (x) x^{2} + 2 x - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$f = y (x) x^{2} + 2 x - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$ .

$y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y (x^{2} x) + 2 x - 1 = f$

Этап 2.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y (x^{2} x^{1}) + 2 x - 1 = f$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y x^{2 + 1} + 2 x - 1 = f$

Этап 2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y x^{3} + 2 x - 1 = f$

Этап 2.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y x^{3} - 1 = f - 2 x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y x^{3} = f - 2 x + 1$

Этап 2.4

Разделим каждый член $y x^{3} = f - 2 x + 1$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $y x^{3} = f - 2 x + 1$ на $x^{3}$ .

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ обратной к $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (f))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.3.2

Объединим противоположные члены в $f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x + 0}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $f (x) \cdot x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.3.3

Изменим порядок множителей в $f (x) x^{2} + 2 x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x^{2} f (x) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} f (x) + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x f (x)) + x \cdot 2$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2 - 2}{x^{2}}$

Этап 4.2.5.2

Объединим противоположные члены в $x f (x) + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 0}{x^{2}}$

Этап 4.2.5.2.2

Добавим $x f (x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x^{2}}$

Этап 4.2.5.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x^{2}}$

Этап 4.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x \cdot x}$

Этап 4.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x \cdot x}$

Этап 4.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x)}{x}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (f))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{2 + 1} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{2}}$ в числитель.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Этап 4.3.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + 1 + 2 x - 1$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $f - 2 x + 1 + 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0 + 1 - 1$

Этап 4.3.4.2

Добавим $f$ и $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 1 - 1$

Этап 4.3.4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0$

Этап 4.3.4.4

Добавим $f$ и $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ , то $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ — обратная к $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$