Тригонометрия Примеры

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 1

Запишем $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ в виде уравнения.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Этап 3.2

Вычтем $55$ из обеих частей уравнения.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Этап 3.3

Разделим каждый член $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ на $40$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ на $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 55$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Этап 3.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Этап 3.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Этап 3.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{5 π}{4}$ и $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Этап 3.6

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Упростим $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8.1.1.2

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.2.1

Вынесем множитель $5 π$ из $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 3.8.2.1.2

Объединим $\frac{4}{5 π}$ и $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 3.8.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 3.8.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 3.8.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Этап 3.8.2.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.4.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Этап 3.8.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Этап 3.8.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.9

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Этап 3.10

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Упростим $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.1.1.2

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.2.1

Вынесем множитель $5 π$ из $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Упростим $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.1

Чтобы записать $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.2.1

Объединим $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 3.11.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Этап 3.11.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Этап 3.11.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Этап 3.11.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Этап 3.11.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Этап 3.11.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Этап 3.11.2.1.5

Умножим $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Этап 3.11.2.1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Этап 3.11.2.1.5.3

Объединим $\frac{4}{5 π}$ и $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Этап 3.11.2.1.6

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.6.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Этап 3.11.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Этап 3.11.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.7.1

Чтобы записать $- \frac{11}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $40$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.7.2.1

Умножим $\frac{11}{8}$ на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.7.2.2

Умножим $8$ на $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.7.4

Умножим $- 11$ на $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Этап 3.11.2.1.8

Чтобы записать $\frac{2}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Этап 3.11.2.1.9

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Этап 3.11.2.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Этап 3.11.2.1.11

Вынесем множитель $2$ из $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Этап 3.11.2.1.11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Этап 3.11.2.1.11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (t)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ обратной к $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (t))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.4

Вынесем множитель $5$ из $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $\frac{5 π}{4}$ и $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $11$ из $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.4.3

Добавим $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ и $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (t))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.6

Чтобы записать $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.7

Объединим $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.3

Объединим противоположные члены в $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.3.2

Добавим $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ и $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Этап 5.3.3.4.2

Разделим $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ на $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Этап 5.3.3.5

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Этап 5.3.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $t - 55 + 55$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 55$ и $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $t$ и $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ , то $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ — обратная к $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$