Тригонометрия Примеры

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Этап 1

Запишем $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ в виде уравнения.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 e^{0.1 y} = t$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 e^{0.1 y} = t$ на $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $e^{0.1 y}$ на $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{0.1 y})$ , вынося $0.1 y$ из логарифма.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Этап 3.4.3

Умножим $0.1$ на $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Этап 3.5

Разделим каждый член $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ на $0.1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ на $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $0.1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Этап 3.5.3.3

Разделим дроби.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Этап 3.5.3.4

Разделим $1$ на $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Этап 3.5.3.5

Разделим $\ln (\frac{t}{3})$ на $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ обратной к $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (t))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Этап 5.2.3.2

Разделим $e^{0.1 t}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Этап 5.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $0.1 t$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Этап 5.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Этап 5.2.6

Умножим $0.1$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Этап 5.2.7

Умножим $10 (0.1 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $0.1$ на $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Этап 5.2.7.2

Умножим $t$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (t))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Этап 5.3.3

Упростим $10 \ln (\frac{t}{3})$ путем переноса $10$ под логарифм.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Этап 5.3.4

Упростим $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ путем переноса $0.1$ под логарифм.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Этап 5.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Этап 5.3.6

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $10$ на $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ , то $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ — обратная к $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$