Тригонометрия Примеры

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

Этап 1

Запишем $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ в виде уравнения.

$y = - 16 t^{2} + 220$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = - 16 y^{2} + 220$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 16 y^{2} + 220 = t$ .

$- 16 y^{2} + 220 = t$

Этап 3.2

Вычтем $220$ из обеих частей уравнения.

$- 16 y^{2} = t - 220$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 16 y^{2} = t - 220$ на $- 16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 16 y^{2} = t - 220$ на $- 16$ .

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 220$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 220$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы записать $\frac{55}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $\frac{55}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

Этап 3.5.4

Умножим $55$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

Этап 3.5.5

Перепишем $\frac{- t + 220}{16}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- t + 220$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

Этап 3.5.5.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.5.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

Этап 3.5.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

Этап 3.5.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{- t + 220}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ обратной к $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ и $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 220]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- t + 220}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- t + 220 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $220$ из обеих частей неравенства.

$- t \geq - 220$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- t \geq - 220$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- t \geq - 220$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 220$ на $- 1$ .

$t \leq 220$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 220]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ , представляет область определения $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , то $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ — обратная к $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Этап 6