Тригонометрия Примеры

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

x = cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Этап 2

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ из котангенса.

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Этап 2.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь

y

$y$ из арктангенса.

\sqrt{\frac{2}{y}} = tan (arccot (x))

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ в виде

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2

Умножим

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ на

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.1

Умножим

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ на

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.2

Возведем

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ в степень

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.3

Возведем

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ в степень

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6

Перепишем

{\sqrt{y}}^{2}

${\sqrt{y}}^{2}$ в виде

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ в виде

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

$(x, 1)$ ,

$(x, 0)$ и начале координат. Тогда

$arccot (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

$(x, 1)$ . Следовательно,

$\tan (arccot (x))$ равно

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим

$y$ на

$1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим

$\sqrt{2 y}$ на

$x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Этап 2.7

Перепишем уравнение в виде

$\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Этап 2.8

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2 y}$ в виде

${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Применим правило умножения к

$2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.2

Применим правило степени

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.2.1

Применим правило умножения к

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.2.2

Применим правило умножения к

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3

Перемножим экспоненты в

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.4

Найдем экспоненту.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5

Перемножим экспоненты в

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.6

Упростим.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Этап 2.10

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вычтем

$y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель

$y$ из

$2 y x^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель

$y$ из

$2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель

$y$ из

$- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель

$y$ из

$y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Этап 2.10.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Этап 2.10.4

Приравняем

$y$ к

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.10.5

Приравняем

$2 x^{2} - y$ к

$0$ , затем решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Приравняем

$2 x^{2} - y$ к

$0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Этап 2.10.5.2

Решим

$2 x^{2} - y = 0$ относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.1

Вычтем

$2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y = - 2 x^{2}$

Этап 2.10.5.2.2

Разделим каждый член

$- y = - 2 x^{2}$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.1

Разделим каждый член

$- y = - 2 x^{2}$ на

$- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.2.2

Разделим

$y$ на

$1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Этап 2.10.5.2.2.3.2

Перепишем

$- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ в виде

$- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Этап 2.10.5.2.2.3.3

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Этап 2.10.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$y (2 x^{2} - y) = 0$ верно.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Этап 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Этап 4

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ обратной к

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ и

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем область определения

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.3

Так как область определения

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ не совпадает со множеством значений

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , то

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ не является функцией, обратной к

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Обратная не существует

Этап 5