Тригонометрия Примеры

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ из котангенса.

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Этап 2.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{y}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, 1)$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $arccot (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, 1)$ . Следовательно, $\tan (arccot (x))$ равно $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $\sqrt{2 y}$ на $x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Этап 2.7

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Этап 2.8

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y}$ в виде ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.2.1

Применим правило умножения к $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.2.2

Применим правило умножения к $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.4

Найдем экспоненту.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Этап 2.9.2.1.6

Упростим.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Этап 2.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y x^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Этап 2.10.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Этап 2.10.4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 2.10.5

Приравняем $2 x^{2} - y$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Приравняем $2 x^{2} - y$ к $0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Этап 2.10.5.2

Решим $2 x^{2} - y = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y = - 2 x^{2}$

Этап 2.10.5.2.2

Разделим каждый член $- y = - 2 x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.1

Разделим каждый член $- y = - 2 x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Этап 2.10.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Этап 2.10.5.2.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ в виде $- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Этап 2.10.5.2.2.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Этап 2.10.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (2 x^{2} - y) = 0$ верно.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ обратной к $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ и $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем область определения $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.3

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , то $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Обратная не существует

Этап 5