Тригонометрия Примеры

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ из котангенса.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Этап 2.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $\frac{y}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $\frac{y}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.4.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, 1)$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $arccot (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, 1)$ . Следовательно, $\tan (arccot (x))$ равно $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.1.1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{3}$ из $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.2.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Этап 2.7.2.1.4

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ обратной к $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Этап 4.2.3

Разделим дроби.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Этап 4.2.4

Выразим $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Этап 4.2.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Этап 4.2.6

Переведем $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ в $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Этап 4.2.7

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Этап 4.2.8

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Этап 4.2.9

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Этап 4.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Этап 4.3.3

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . Следовательно, $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ равно $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Этап 4.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ — обратная к $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$