Тригонометрия Примеры

$\cos (x - y)$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$x - y = \arccos (0)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - y = \frac{π}{2}$

Этап 3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y = \frac{π}{2} - x$

Этап 4

Разделим каждый член $- y = \frac{π}{2} - x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- y = \frac{π}{2} - x$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ в виде $- \frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{π}{2} + \frac{x}{1}$

Этап 4.3.1.4

Разделим $x$ на $1$ .

$y = - \frac{π}{2} + x$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - y = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x - y = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - y = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y = \frac{3 π}{2} - x$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- y = \frac{3 π}{2} - x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- y = \frac{3 π}{2} - x$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{3 π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{3 π}{2}$ в виде $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{x}{1}$

Этап 6.3.3.1.4

Разделим $x$ на $1$ .

$y = - \frac{3 π}{2} + x$

Этап 7

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{3 π}{2} + y$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3 π}{2} + y = x$ .

$- \frac{3 π}{2} + y = x$

Этап 8.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = x + \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ обратной к $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 10.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 10.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = (- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.3

Объединим противоположные члены в $(- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Добавим $- \frac{3 π}{2}$ и $\frac{3 π}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x + 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x$

Этап 10.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 10.3.2

Найдем значение $f (x + \frac{3 π}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.4

Объединим противоположные члены в $- \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Добавим $- \frac{3 π}{2}$ и $\frac{3 π}{2}$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x + 0$

Этап 10.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x$

Этап 10.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ — обратная к $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ .

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$