Тригонометрия Примеры

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ .

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Этап 2.2

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Этап 2.3

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Этап 2.4

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Этап 2.4.2

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Этап 2.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Этап 2.5.3

Добавим $1$ и $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Этап 2.6

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Этап 2.7

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.7.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.7.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.7.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.7.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.7.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.7.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.7.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.8

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Этап 2.9

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Этап 2.10

Разделим каждый член $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Разделим каждый член $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 2.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 2.10.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 2.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 2.10.3.1.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Этап 2.10.3.1.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ обратной к $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Этап 4.2.3

Изменим порядок множителей в $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Этап 4.3.3.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Этап 4.3.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Этап 4.3.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ — обратная к $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$