Тригонометрия Примеры

$f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ в виде уравнения.

$y = - \frac{5}{2} x + 10$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{5}{2} y + 10$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5}{2} y + 10 = x$ .

$- \frac{5}{2} y + 10 = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $y$ и $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{y \cdot 5}{2} + 10 = x$

Этап 3.2.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$- \frac{5 y}{2} + 10 = x$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5 y}{2} = x - 10$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 y}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- \frac{2}{5} (x - 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Этап 3.5.2.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Этап 3.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 10$

Этап 3.5.2.1.1.3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 10$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 2))$

Этап 3.5.2.1.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

Этап 3.5.2.1.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.5.2.1.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 4$

Этап 3.5.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ обратной к $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5}{2} x + 10)}{5} + 4$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $x$ и $\frac{5}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{x \cdot 5}{2} + 10)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5 \cdot x}{2} + 10)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- \frac{5 x}{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- \frac{5 x}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 10)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.3.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2))}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 \cdot (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.6

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Этап 5.2.3.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 4}{2})}{5} + 4$

Этап 5.2.3.2

Объединим $10$ и $\frac{- x + 4}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{10 (- x + 4)}{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{10 (- x + 4)}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (- x + 4)$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 (1)}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 \cdot 1}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{5 (- x + 4)}{1}}{5} + 4$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим $5 (- x + 4)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $- x + 4$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - (- x + 4) + 4$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Этап 5.2.3.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = 1 x - 1 \cdot 4 + 4$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 4 + 4$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{2 x}{5} + 4)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5} + 4) + 10$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - 1 (- x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = 1 x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot 4 + 10$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (2)) + 10$

Этап 5.3.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 10$

Этап 5.3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 5 \cdot 2 + 10$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 10 + 10$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ — обратная к $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$