Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ в виде уравнения.

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ .

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, 1, 1$

Этап 3.3.2

Избавимся от скобок.

$y - 2, 1, 1$

Этап 3.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 2$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ умножим на $y - 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ на $y - 2$ .

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

Этап 3.4.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

Этап 3.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

Этап 3.4.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$4 = x y - 2 x - y + 2$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 2 x - y + 2 = 4$ .

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

Этап 3.5.2.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$x y - y = 2 x + 2$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - y = 2 x + 2$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 x + 2$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 2 x + 2$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 2 x + 2$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

Этап 3.5.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

Этап 3.5.4.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

Этап 3.5.4.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.6

Перепишем $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Добавим $x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.6.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.6.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.3.6.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

Этап 5.2.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.6

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7

Перепишем $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7.4

Добавим $0$ и $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7.5

Вычтем $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

Этап 5.2.4.7.6

Добавим $2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

Этап 5.2.5

Объединим $2$ и $\frac{2 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Этап 5.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Этап 5.2.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

Этап 5.3.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

Этап 5.3.3.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Этап 5.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Этап 5.3.3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

Этап 5.3.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Этап 5.3.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$