Тригонометрия Примеры

$f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ в виде уравнения.

$y = - \frac{3}{8} x^{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{3}{8} y^{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{8} y^{7} = x$ .

$- \frac{3}{8} y^{7} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7}) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Объединим $y^{7}$ и $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{3}$ в числитель.

$\frac{- 8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}$ в числитель.

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- y^{7} \cdot 3) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- y^{7} \cdot 3$ .

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- - y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.1.1.4.2

Умножим $y^{7}$ на $1$ .

$y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \frac{8}{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{8}{3}$ .

$y^{7} = - \frac{x \cdot 8}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$y^{7} = - \frac{8 x}{3}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $- \frac{8 x}{3}$ в виде ${({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Этап 3.5.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{7} \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Этап 3.5.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$y = - \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Этап 3.5.4

Перепишем $\sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ обратной к $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{8 (- \frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 8 (\frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{3}{8}$ и $- 8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot - 8}{8} x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{3 \cdot - 8}{8}$ и $x^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 8 x^{7})}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим выражение $\frac{3 \cdot - 8 x^{7}}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $3 \cdot - 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 (1)}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 \cdot 1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 1 x^{7})}{1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $3 \cdot - 1 x^{7}$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{3 \cdot (- 1 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.6

Перепишем $- 3 x^{7}$ в виде ${(- x)}^{7} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 1 \cdot 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.6.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \cdot (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.6.3

Перенесем $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} x^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.6.4

Перепишем ${(- 1)}^{7} x^{7}$ в виде ${(- x)}^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- x)}^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.3.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $\sqrt[7]{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $- x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot {(- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7})$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}))$

Этап 5.3.4

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot (- 1 (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим ${(- 1)}^{7}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot ((- 1) (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7 + 1} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.4.3

Добавим $7$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5

Перепишем ${\sqrt[7]{8 x}}^{7}$ в виде $8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{8 x}$ в виде ${(8 x)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{({(8 x)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.5.5

Упростим.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Этап 5.3.6

Перепишем ${\sqrt[7]{3}}^{7}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{(3^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Этап 5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Этап 5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Этап 5.3.6.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Этап 5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Этап 5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Этап 5.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = 1 (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Этап 5.3.7.2

Умножим $\frac{3}{8}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 (x))$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Этап 5.3.9.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ — обратная к $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$