Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ .

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ в виде ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $4 y^{2} = x^{2} - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = x^{2} - 3$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

Этап 3.4.4.2

Перепишем $\frac{x^{2} - 3}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

Этап 3.4.4.2.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.4.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

Этап 3.4.4.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

Этап 3.4.4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ обратной к $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\sqrt{3}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 3$

Этап 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.4

Запишем $| x | \geq \sqrt{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.3.2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.3.2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.3.2.5

Найдем пересечение $x \geq \sqrt{3}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.6

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 5.3.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 5.3.2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 5.3.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Этап 5.3.2.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - \sqrt{3}$ или $x \geq \sqrt{3}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Обратная не существует

Этап 6