Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{2 x - 3} + 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{2 y - 3} + 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 y - 3} + 2 = x$ .

$\sqrt{2 y - 3} + 2 = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 y - 3} = x - 2$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 y - 3}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y - 3}$ в виде ${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y - 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$2 y - 3 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 y - 3 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y - 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y - 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y - 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y - 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 y - 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 y = x^{2} - 4 x + 4 + 3$

Этап 3.5.1.2

Добавим $4$ и $3$ .

$2 y = x^{2} - 4 x + 7$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $2 y = x^{2} - 4 x + 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $2 y = x^{2} - 4 x + 7$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{7}{2}$

Этап 3.5.2.3.1.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$ обратной к $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} - 2 \cdot 2 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.4

Чтобы записать $- 2 \sqrt{2 x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot \frac{2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим $- 2 \sqrt{2 x - 3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Перепишем ${(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.2

Развернем $(\sqrt{2 x - 3} + 2) (\sqrt{2 x - 3} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} (\sqrt{2 x - 3} + 2) + 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 (\sqrt{2 x - 3} + 2) - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.1

Умножим $\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{2 x - 3}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{2 x - 3}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{\sqrt{2 x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{\sqrt{2 x - 3}}^{2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 x - 3}}^{2}$ в виде $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{(2 x - 3) + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + 2 \cdot \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x - 3 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 4 - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.3.3

Добавим $2 \sqrt{2 x - 3}$ и $2 \sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} - 2 \sqrt{2 x - 3} \cdot 2}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} - 4 \sqrt{2 x - 3}}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.5

Вычтем $4 \sqrt{2 x - 3}$ из $4 \sqrt{2 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1 + 0}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.6.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = \frac{2 x + 1}{2} - 4 + \frac{7}{2}$

Этап 5.2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 x + 1 + 7}{2}$

Этап 5.2.7.2

Добавим $1$ и $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 x + 8}{2}$

Этап 5.2.7.3

Сократим общий множитель $2 x + 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x) + 8}{2}$

Этап 5.2.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x) + 2 \cdot 4}{2}$

Этап 5.2.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2}$

Этап 5.2.7.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2 (1)}$

Этап 5.2.7.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{2 (x + 4)}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.7.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + \frac{x + 4}{1}$

Этап 5.2.7.3.4.4

Разделим $x + 4$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = - 4 + x + 4$

Этап 5.2.7.4

Объединим противоположные члены в $- 4 + x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = x + 0$

Этап 5.2.7.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 3} + 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (\frac{7}{2}) - 3} + 2$

Этап 5.3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 7 - 3} + 2$

Этап 5.3.3.3

Вычтем $3$ из $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} + 2$

Этап 5.3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + 2$

Этап 5.3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + 2$

Этап 5.3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 2$

Этап 5.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x - 2 + 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{7}{2}$