Тригонометрия Примеры

$f (x) = x^{2} + 3 x - 7$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ в виде уравнения.

$y = x^{2} + 3 x - 7$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} + 3 y - 7$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 3 y - 7 = x$ .

$y^{2} + 3 y - 7 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 3 y - 7 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = - 7 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 7 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 7 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $9$ и $28$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 7 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $9$ и $28$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{37 + 4 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{37 + 4 x})}{2}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{37 + 4 x})$ .

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{37 + 4 x})}{2}$

Этап 3.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 7 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 7 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 28 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $9$ и $28$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 - \sqrt{37 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Изменим порядок $37$ и $4 x$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 3.7.4.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 3.7.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{4 x + 37}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{4 x + 37})}{2}$

Этап 3.7.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{4 x + 37})$ .

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{4 x + 37})}{2}$

Этап 3.7.4.5

Перепишем $- 1 (3 + \sqrt{4 x + 37})$ в виде $- (3 + \sqrt{4 x + 37})$ .

$y = \frac{- (3 + \sqrt{4 x + 37})}{2}$

Этап 3.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$ обратной к $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{37}{4}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{37 + 4 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$37 + 4 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $37$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 37$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 37$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 37$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 37}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 37}{4}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 37}{4}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{37}{4}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{37}{4}, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$ — обратная к $f (x) = x^{2} + 3 x - 7$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{37 + 4 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{4 x + 37}}{2}$

Этап 6