Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{π}{2} - x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sin (\frac{π}{2} - y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (\frac{π}{2} - y) = x$ .

$\sin (\frac{π}{2} - y) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\frac{π}{2} - y = \arcsin (x)$

Этап 2.3

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 2.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 2.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \arcsin (x)$ в виде $- \arcsin (x)$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 2.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \arcsin (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Этап 2.4.3.1.4

Разделим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ обратной к $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) + \frac{π}{2}$

Этап 4.2.3

Изменим порядок $\frac{π}{2}$ и $- x$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (- x + \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} - (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}))$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Этап 4.3.3.2

Умножим $- - \arcsin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + 1 \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Этап 4.3.3.2.2

Умножим $\arcsin (x)$ на $1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Этап 4.3.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим противоположные члены в $\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π - π}{2} + \arcsin (x))$

Этап 4.3.4.1.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{0}{2} + \arcsin (x))$

Этап 4.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (0 + \arcsin (x))$

Этап 4.3.4.2.2

Добавим $0$ и $\arcsin (x)$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\arcsin (x))$

Этап 4.3.5

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ — обратная к $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$