Тригонометрия Примеры

$f (x) = 5 \cos (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 \cos (x)$ в виде уравнения.

$y = 5 \cos (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 \cos (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 \cos (y) = x$ .

$5 \cos (y) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 \cos (y) = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 \cos (y) = x$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (y)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (y)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (y) = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (\frac{x}{5})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{5})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{5})$ обратной к $f (x) = 5 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 \cos (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \cos (x)) = \arccos (\frac{5 \cos (x)}{5})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 \cos (x)) = \arccos (\frac{5 \cos (x)}{5})$

Этап 5.2.3.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arccos (\frac{x}{5}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (\frac{x}{5})) = 5 \cos (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 5.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (\frac{x}{5})) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arccos (\frac{x}{5})) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arccos (\frac{x}{5})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{5})$ — обратная к $f (x) = 5 \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{5})$