Тригонометрия Примеры

$f (x) = - 5 \cos (2 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 5 \cos (2 x)$ в виде уравнения.

$y = - 5 \cos (2 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 5 \cos (2 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 \cos (2 y) = x$ .

$- 5 \cos (2 y) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 5 \cos (2 y) = x$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 5 \cos (2 y) = x$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 \cos (2 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \cos (2 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 y)$ на $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 y) = - \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$2 y = \arccos (- \frac{x}{5})$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$ обратной к $f (x) = - 5 \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 5 \cos (2 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 5 \cos (2 x)}{5})}{2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (2 x))}{5})}{2}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (2 x))}{5 (1)})}{2}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (2 x))}{5 \cdot 1})}{2}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (2 x)}{1})}{2}$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $- \cos (2 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 5 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 5 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 5 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 5 \cos (\arccos (- \frac{x}{5}))$

Этап 5.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 5 (- \frac{x}{5})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{5}$ в числитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 5 \frac{- x}{5}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5})$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5})$

Этап 5.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = - 1 (- x)$

Этап 5.3.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = 1 x$

Этап 5.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$ — обратная к $f (x) = - 5 \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{2}$