Тригонометрия Примеры

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Этап 2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Этап 2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Этап 2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (y + 2)}$ в виде ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.2.1.3.2

Упростим.

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим ${(3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

Этап 2.4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 y = 9 x^{2} - 4$

Этап 2.4.3.2

Разделим каждый член $2 y = 9 x^{2} - 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Разделим каждый член $2 y = 9 x^{2} - 4$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 2.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 2.4.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 2.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.3.1

Разделим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ в виде $2 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (x + 2)}$ в виде ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.2.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

Этап 4.2.3.3

Объединим $9$ и $\frac{2 (x + 2)}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.4

Умножим $9$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Сократим выражение $\frac{18 (x + 2)}{9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.5.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.5.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

Этап 4.2.3.5.2

Разделим $2 (x + 2)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Этап 4.2.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Этап 4.2.3.6.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

Этап 4.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

Этап 4.3.3.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Этап 4.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Этап 4.3.3.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.6

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.8

Изменим порядок членов.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.9

Перепишем $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.9.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.9.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.9.4

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

Этап 4.3.3.10

Объединим $2$ и $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Этап 4.3.3.11

Умножим $2$ на $9$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

Этап 4.3.3.12

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.12.1

Сократим выражение $\frac{18 x^{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.12.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Этап 4.3.3.12.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

Этап 4.3.3.12.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

Этап 4.3.3.12.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

Этап 4.3.3.12.2

Разделим $9 x^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

Этап 4.3.3.13

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

Этап 4.3.3.14

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$