Тригонометрия Примеры

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Этап 1

Запишем $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ в виде ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 y^{2} = x^{2} - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = x^{2} - 5$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 3.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Этап 3.4.4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.4.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Этап 3.4.4.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $k^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ обратной к $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ и $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\sqrt{5}, \infty)$

Этап 5.3

Find the domain of the inverse.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

Этап 5.3.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Упростим $2 (x^{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Этап 5.3.1.2.3

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Этап 5.3.1.2.4

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 5.3.1.2.4.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.4.1.3

Левая часть $40$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3.1.2.4.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.1.2.4.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.4.2.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3.1.2.4.3

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.3.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 5.3.1.2.4.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.4.3.3

Левая часть $40$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3.1.2.4.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{5}$ Истина

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Ложь

$x > \sqrt{5}$ Истина

$x < - \sqrt{5}$ Истина

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Ложь

$x > \sqrt{5}$ Истина

Этап 5.3.1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \sqrt{5}$ или $x \geq \sqrt{5}$

Этап 5.3.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Этап 5.3.2

Найдем объединение $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ не совпадает со множеством значений $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ , то $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ не является функцией, обратной к $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Обратная не существует

Этап 6