Тригонометрия Примеры

$g (x) = - 4 x^{2} - 8$

Этап 1

Запишем $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ в виде уравнения.

$y = - 4 x^{2} - 8$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 4 y^{2} - 8$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 y^{2} - 8 = x$ .

$- 4 y^{2} - 8 = x$

Этап 3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y^{2} = x + 8$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 4 y^{2} = x + 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 4 y^{2} = x + 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 3.3.3.1.2

Разделим $8$ на $- 4$ .

$y^{2} = - \frac{x}{4} - 2$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{4} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 2}$

Этап 3.5.1.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 1 (2)}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{x}{4}) - 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2)}$

Этап 3.5.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})}$

Этап 3.5.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})}$

Этап 3.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 2 \cdot 4}{4}}$

Этап 3.5.5

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 8}{4}}$

Этап 3.5.6

Перепишем $- \frac{x + 8}{4}$ в виде ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x + 8$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{4}}$

Этап 3.5.6.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.5.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x + 8))}$

Этап 3.5.6.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

Этап 3.5.6.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

Этап 3.5.6.6

Добавим круглые скобки.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))}$

Этап 3.5.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

Этап 3.5.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

Этап 3.5.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- (x + 8)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ обратной к $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ и $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- (x + 8)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- (x + 8) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $- (x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x - 1 \cdot 8 \geq 0$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- x - 8 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $8$ к обеим частям неравенства.

$- x \geq 8$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{8}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{8}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{8}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Разделим $8$ на $- 1$ .

$x \leq - 8$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 8]$

Этап 5.4

Найдем область определения $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ , а множество значений, определяемое уравнениями $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ , представляет область определения $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ , то $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ — обратная к $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Этап 6