Тригонометрия Примеры

$g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$

Этап 1

Запишем $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ в виде уравнения.

$y = - x^{2} - 8 x + 20$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - y^{2} - 8 y + 20$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- y^{2} - 8 y + 20 = x$ .

$- y^{2} - 8 y + 20 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} - 8 y + 20 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 8$ и $c = 20 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (20 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 20 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $4$ на $20$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $64$ и $80$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{144 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $4$ из $144 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $144$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (36) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $4 (36 - x)$ в виде $2^{2} (6^{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.8.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (6^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$

Этап 3.5.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.5.5

Перепишем $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$ в виде $- (4 \pm \sqrt{36 - x})$ .

$y = - (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 20 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $4$ на $20$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $64$ и $80$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{144 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $4$ из $144 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $144$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (36) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $4 (36 - x)$ в виде $2^{2} (6^{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.8.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (6^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$

Этап 3.6.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.6.5

Перепишем $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$ в виде $- (4 \pm \sqrt{36 - x})$ .

$y = - (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.6.6

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - (4 + \sqrt{36 - x})$

Этап 3.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 4 - \sqrt{36 - x}$

Этап 3.6.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - 4 - \sqrt{36 - x}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (20 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 20 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $4$ на $20$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $64$ и $80$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{144 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $4$ из $144 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $144$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (36) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $4 (36 - x)$ в виде $2^{2} (6^{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (36 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.8.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (6^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{36 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$

Этап 3.7.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 \pm \sqrt{36 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.7.5

Перепишем $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{36 - x})$ в виде $- (4 \pm \sqrt{36 - x})$ .

$y = - (4 \pm \sqrt{36 - x})$

Этап 3.7.6

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - (4 - \sqrt{36 - x})$

Этап 3.7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 3.7.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 3.7.9

Умножим $- - \sqrt{36 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - 4 + 1 \sqrt{36 - x}$

Этап 3.7.9.2

Умножим $\sqrt{36 - x}$ на $1$ .

$y = - 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 4 - \sqrt{36 - x}$

$y = - 4 + \sqrt{36 - x}$

$y = - 4 - \sqrt{36 - x}$

$y = - 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$ обратной к $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ и $g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 36]$

Этап 5.3

Найдем область определения $- 4 - \sqrt{36 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{36 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$36 - x \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $36$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 36$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 36$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 36$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 36$ на $- 1$ .

$x \leq 36$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 36]$

Этап 5.4

Найдем область определения $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ , а множество значений, определяемое уравнениями $g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$ , представляет область определения $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ , то $g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$ — обратная к $g (x) = - x^{2} - 8 x + 20$ .

$g^{- 1} (x) = - 4 - \sqrt{36 - x}, - 4 + \sqrt{36 - x}$

Этап 6