Тригонометрия Примеры

$g (x) = \sqrt{4 x - 2}$

Этап 1

Запишем $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{4 x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{4 y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{4 y - 2} = x$ .

$\sqrt{4 y - 2} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y - 2}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y - 2}$ в виде ${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y - 2)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$4 y - 2 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 y = x^{2} + 2$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 2$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ обратной к $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2})$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 2})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) - 2}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x) + 2 (- 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 (2 x - 1)}}^{2}$ в виде $2 (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 x - 1)}$ в виде ${(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{({(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{{(2 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.2.5

Упростим.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x + 2 \cdot - 1}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{4 x - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.6

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) - 2}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 (2 x - 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt{4 x - 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) - 2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2})) + 2 (- 1)$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 (2)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 1 - 1)}$

Этап 5.3.7

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Этап 5.3.7.2

Добавим $\frac{x^{2}}{2}$ и $0$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Этап 5.3.8

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Этап 5.3.9

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим выражение $\frac{2 x^{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1.1

Сократим общий множитель.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Этап 5.3.9.1.2

Перепишем это выражение.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Этап 5.3.9.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$g (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ — обратная к $g (x) = \sqrt{4 x - 2}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2}$