Тригонометрия Примеры

$g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$

Этап 1

Запишем $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ в виде уравнения.

$y = {(x - 2)}^{3} - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 2)}^{3} - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 2)}^{3} - 1 = x$ .

${(y - 2)}^{3} - 1 = x$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

${(y - 2)}^{3} = x + 1$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \sqrt[3]{x + 1}$

Этап 3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $g^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ обратной к $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1)$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3} + 0} + 2$

Этап 5.2.3.2

Добавим ${(x - 2)}^{3}$ и $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (\sqrt[3]{x + 1} + 2)$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в ${((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(\sqrt[3]{x + 1} + 0)}^{3} - 1$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{x + 1}$ и $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {\sqrt[3]{x + 1}}^{3} - 1$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 1}}^{3}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = (x + 1) - 1$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 1 - 1$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ — обратная к $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ .

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$