Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 x}{8 + x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y}{8 + y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 y}{8 + y} = x$ .

$\frac{3 y}{8 + y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$8 + y, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$8 + y, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$8 + y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{3 y}{8 + y} = x$ умножим на $8 + y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{3 y}{8 + y} = x$ на $8 + y$ .

$\frac{3 y}{8 + y} (8 + y) = x (8 + y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $8 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{8 + y} (8 + y) = x (8 + y)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y = x (8 + y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y = x \cdot 8 + x y$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$3 y = 8 x + x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$3 y - x y = 8 x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$y \cdot 3 - x y = 8 x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 3 + y (- x) = 8 x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 3 + y (- x)$ .

$y (3 - x) = 8 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (3 - x) = 8 x$ на $3 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (3 - x) = 8 x$ на $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{8 x}{3 - x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{8 x}{3 - x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{8 x}{3 - x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{8 (\frac{3 x}{8 + x})}{3 - (\frac{3 x}{8 + x})}$

Этап 5.2.3

Объединим $8$ и $\frac{3 x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{3 - \frac{3 x}{8 + x}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8 + x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x)}{8 + x} - \frac{3 x}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x) - 3 x}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем $\frac{3 (8 + x) - 3 x}{8 + x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (8 + x) - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x) + 3 (- x)}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (8 + x) + 3 (- x)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x - x)}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + 0)}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.3.3

Добавим $8$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 \cdot 8}{8 + x}}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $3$ на $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{24}{8 + x}}$

Этап 5.2.5

Умножим $8$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{24 x}{8 + x}}{\frac{24}{8 + x}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 x}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $24$ из $24 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 (x)}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 x}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{x}{8 + x} \cdot (8 + x)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $8 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{x}{8 + x} \cdot (8 + x)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{8 x}{3 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{8 x}{3 - x})}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Этап 5.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Избавимся от скобок.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{8 x}{3 - x})}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $3$ и $\frac{8 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x)}{3 - x} + \frac{8 x}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x) + 8 x}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Перепишем $\frac{8 (3 - x) + 8 x}{3 - x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $8 (3 - x) + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x) + 8 (x)}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.3.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 (3 - x) + 8 (x)$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x + x)}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 + 0)}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.3.3

Добавим $3$ и $0$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 \cdot 3}{3 - x}}$

Этап 5.3.4.4

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{24}{3 - x}}$

Этап 5.3.5

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{24 x}{3 - x}}{\frac{24}{3 - x}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 x}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $24$ из $24 x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 (x)}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 x}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (3 - x)$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (3 - x)$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$