Тригонометрия Примеры

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Этап 1

Запишем $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ в виде уравнения.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $7 \arcsin (y^{2}) = x$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $7 \arcsin (y^{2}) = x$ на $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\arcsin (y^{2})$ на $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Этап 3.3

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ обратной к $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Этап 5.3

Find the domain of the inverse.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем область определения $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Этап 5.3.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Этап 5.3.1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Этап 5.3.1.2.3

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Этап 5.3.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Этап 5.3.1.2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \geq 0 \cdot 7$

Этап 5.3.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.2.1

Умножим $0$ на $7$ .

$x \geq 0$

Этап 5.3.1.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Этап 5.3.1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.1

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Этап 5.3.1.2.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Этап 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 7 (π - 0)$

Этап 5.3.1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.2.2.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = 7 π$

Этап 5.3.1.2.7

Найдем период $\sin (\frac{x}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.3.1.2.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{7}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Этап 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ приблизительно равно $0.\overline{142857}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Этап 5.3.1.2.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 7$

Этап 5.3.1.2.7.5

Умножим $7$ на $2$ .

$14 π$

Этап 5.3.1.2.8

Период функции $\sin (\frac{x}{7})$ равен $14 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $14 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.1.2.9

Объединим ответы.

$x = 7 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.1.2.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Этап 5.3.1.2.11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.11.1

Проверим значение на интервале $0 < x < 7 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.11.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.3.1.2.11.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.11.1.3

Левая часть $0.28184285$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3.1.2.11.2

Проверим значение на интервале $7 π < x < 14 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.11.2.1

Выберем значение на интервале $7 π < x < 14 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 24$

Этап 5.3.1.2.11.2.2

Заменим $x$ на $24$ в исходном неравенстве.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.11.2.3

Левая часть $- 0.28305585$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3.1.2.11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < 7 π$ Истина

$7 π < x < 14 π$ Ложь

$0 < x < 7 π$ Истина

$7 π < x < 14 π$ Ложь

Этап 5.3.1.2.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 5.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

Нет решения

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ не является функцией, обратной к $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Обратная не существует

Этап 6