Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 x - \frac{3}{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x - \frac{3}{2}$ в виде уравнения.

$y = 2 x - \frac{3}{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y - \frac{3}{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y - \frac{3}{2} = x$ .

$2 y - \frac{3}{2} = x$

Этап 3.2

Добавим $\frac{3}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 y = x + \frac{3}{2}$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 y = x + \frac{3}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 y = x + \frac{3}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$ обратной к $f (x) = 2 x - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{2 x - \frac{3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{2 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Объединим $2 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2 - 3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 x - 3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $\frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $\frac{4 x - 3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x - 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 x - \frac{3}{2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{4}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{4}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 2 (\frac{3}{4}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 2 (\frac{3}{2 (2)}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 2 (\frac{3}{2 \cdot 2}) - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{3 - 3}{2}$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Этап 5.3.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{2} + \frac{3}{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$ — обратная к $f (x) = 2 x - \frac{3}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$