Тригонометрия Примеры

$f (x) = 1 + \sec (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 1 + \sec (x)$ в виде уравнения.

$y = 1 + \sec (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 1 + \sec (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \sec (y) = x$ .

$1 + \sec (y) = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sec (y) = x - 1$

Этап 3.3

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y = arcsec (x - 1)$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ обратной к $f (x) = 1 + \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (1 + \sec (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec ((1 + \sec (x)) - 1)$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $(1 + \sec (x)) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (0 + \sec (x))$

Этап 5.2.3.2

Добавим $0$ и $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (arcsec (x - 1))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + \sec (arcsec (x - 1))$

Этап 5.3.3

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + x - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ — обратная к $f (x) = 1 + \sec (x)$ .

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$