Тригонометрия Примеры

$f (x) = 1 - x^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 1 - x^{3}$ в виде уравнения.

$y = 1 - x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 1 - y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 - y^{3} = x$ .

$1 - y^{3} = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{3} = x - 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- y^{3} = x - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- y^{3} = x - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$y^{3} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{3} = - x + 1$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- x + 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ обратной к $f (x) = 1 - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (1 - x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- (1 - x^{3}) + 1}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 1 + x^{3} + 1}$

Этап 5.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 + x^{3} + 1}$

Этап 5.2.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 5.2.6

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{- x + 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(\sqrt[3]{- x + 1})}^{3}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{- x + 1}}^{3}$ в виде $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- x + 1}$ в виде ${(- x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {({(- x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 5.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Этап 5.3.3.1.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Этап 5.3.3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ — обратная к $f (x) = 1 - x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$