Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ в виде уравнения.

$y = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ .

$2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin (3 y + \frac{9 π}{8})$ на $1$ .

$\sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$3 y + \frac{9 π}{8} = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 3.4

Вычтем $\frac{9 π}{8}$ из обеих частей уравнения.

$3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$

Этап 3.5

Разделим каждый член $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 π}{8}$ в числитель.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.5.3.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 π$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.5.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.5.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 3 π}{8}$

Этап 3.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ обратной к $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $\sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\sin (3 x + \frac{9 π}{8}))}{3} - \frac{3 π}{8}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.3

Умножим $3 (- \frac{3 π}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 3 \frac{3 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 3 (3 π)}{8} + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- \frac{9 π}{8}$ и $\frac{9 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\arcsin (\frac{x}{2})$ и $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Этап 5.3.5

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ — обратная к $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$