Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 \cos (x - 45)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \cos (x - 45)$ в виде уравнения.

$y = 2 \cos (x - 45)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \cos (y - 45)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cos (y - 45) = x$ .

$2 \cos (y - 45) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 \cos (y - 45) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (y - 45) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (y - 45)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (y - 45)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (y - 45)$ на $1$ .

$\cos (y - 45) = \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y - 45 = \arccos (\frac{x}{2})$

Этап 3.4

Добавим $45$ к обеим частям уравнения.

$y = \arccos (\frac{x}{2}) + 45$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{2}) + 45$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{2}) + 45$ обратной к $f (x) = 2 \cos (x - 45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \cos (x - 45))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cos (x - 45)) = \arccos (\frac{2 \cos (x - 45)}{2}) + 45$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \cos (x - 45)) = \arccos (\frac{2 \cos (x - 45)}{2}) + 45$

Этап 5.2.3.2

Разделим $\cos (x - 45)$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \cos (x - 45)) = \arccos (\cos (x - 45)) + 45$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = 2 \cos ((\arccos (\frac{x}{2}) + 45) - 45)$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\arccos (\frac{x}{2}) + 45) - 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $45$ из $45$ .

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 0)$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\arccos (\frac{x}{2})$ и $0$ .

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

Этап 5.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\arccos (\frac{x}{2}) + 45) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{2}) + 45$ — обратная к $f (x) = 2 \cos (x - 45)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{x}{2}) + 45$