Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 - 7 x^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ в виде уравнения.

$y = 2 - 7 x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 - 7 y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 - 7 y^{3} = x$ .

$2 - 7 y^{3} = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 7 y^{3} = x - 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 7 y^{3} = x - 2$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 7 y^{3} = x - 2$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{- 2}{- 7}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{2}{7}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{7}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{49}}{7}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ обратной к $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 - 7 x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- (2 - 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 1 \cdot 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 + 7 x^{3} + 2)}}{7}$

Этап 5.2.3.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (7 x^{3} + 0)}}{7}$

Этап 5.2.3.5

Добавим $7 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 \cdot (7 x^{3})}}{7}$

Этап 5.2.3.6

Умножим $49$ на $7$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Этап 5.2.3.7

Перепишем $343 x^{3}$ в виде ${(7 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Этап 5.2.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 {(\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})}^{3}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}$ в виде $49 (- x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{49 (- x + 2)}$ в виде ${(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{({(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $49$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.4

Умножим $49$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 98}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель $49$ из $- 49 x + 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Вынесем множитель $49$ из $- 49 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 98}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 (2)}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.2.5.3

Вынесем множитель $49$ из $49 (- x) + 49 (2)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Этап 5.3.3.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{343}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 (- 1) (\frac{49 (- x + 2)}{343})$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем множитель $7$ из $343$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Этап 5.3.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Этап 5.3.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $- x + 2$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x + 2)$

Этап 5.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x) - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ — обратная к $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$