Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ в виде уравнения.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Этап 3.5

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Объединим $\frac{2}{π}$ и $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ обратной к $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим противоположные члены в $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Этап 5.2.3.1.2

Добавим $0$ и $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Этап 5.3.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ — обратная к $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$